Question

幂级数的收敛域是不是和函数的定义域？ 和函数端点值的定义还需不需要重新判断？ 幂级数求导积分收敛域

幂级数的收敛域是不是和函数的定义域？
和函数端点值的定义还需不需要重新判断？
幂级数求导积分收敛域可能改变，这影响和函数端点定义不？求大师解释！非常迷茫

Answer 1

幂级数的收敛域就是和函数的收敛域；函数端点值的定义不需要重新判断。但是幂级数求导积分收敛域可能会改变，函数端点定义需要重新判定。

定义域的改变是因为涉及到积分和求和顺序能否交换的问题，在收敛域内部这个求和是一致收敛的，所以没有问题，但边界处就可能不是一致收敛的，只能代进去验证。

概念分析

在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数，a为常数)。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式。收敛发散，称R为收敛半径，(-R，R)为收敛区间。

Answer 2

幂级数的收敛域就是和函数的收敛域；函数端点值的定义不需要重新判断。
但是幂级数求导积分收敛域可能会改变，函数端点定义需要重新判定。
例如s(x)=1+x+x^2+...，很显然s(x)的收敛域是|x|<1，收敛到1/(1-x);对两边同时积分有t(x)=x+x^2/2+x^3/3+...，这里t(x)是s(x)的积分也就是-ln(1-x)，这里面很容易验证t(x)在-1处也是有定义的，即，t(x)的收敛域是[-1,1).之所以这里面会有定义域的改变是因为涉及到积分和求和顺序能否交换的问题，在收敛域内部这个求和是一致收敛的，所以没有问题，但边界处就可能不是一致收敛的，只能代进去验证。