Question

等比数列｛An｝的前n项和为Sn，已知对任意的n属于n的正整数，y=b^x+r（b》0却b不等于1，b.r均为常数）的图

等比数列｛An｝的前n项和为Sn，已知对任意的n属于n的正整数，y=b^x+r（b》0却b不等于1，b.r均为常数）的图像上。（1）求r的值 （2）当b=2时，记b=（n+1）/（4an），求数列（bn）的前n项和Tn

Answer 1

b^x是指b的x次方

对任意的n属于N*点（n,Sn)，均在函数Y=bx+r的图像上
则n=1,2,3,4时有
S1=a1=b+r
S2=a1+a1*q=b^2+r (q为公比)
S3=a1+a1*q+a1*q^2=b^3+r
S4=a1+a1*q+a1*q^2+a1*q^3=b^4+r
则
S2-S1有a1*q=b(b-1) ..............1
S3-S2有a1*q^2=b^2(b-1)...........2
S4-S3有a1*q^3=b^3(b-1)...........3
则上面的2式比1和3式比2式都有
q=b
代入1式
有a1=b-1
代入S1
有
b-1=b+r
得r=-1
(2)
当b=2时，记b=(n+1)/4an
这里应该是bn=(n+1)/4an吧?!
由(1)且b=2
得Sn=2^n-1
所以
an=Sn-S(n-1)
=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)
=2^n-2^(n-1)
=2^(n-1)*(2-1)
=2^(n-1)
所以
bn=(n+1)/2^(n+1)
即bn=n/2^n (这里是令上面的n+1=n)(这里的bn从1开始,上面的从0开始)
则bn-b(n-1)=n/2^n-(n-1)/2^(n-1)=(2-n)/2^n=1/2^(n-1)-n/2^n=1/2^(n-1)-bn
所以
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)-bn ....................1
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)-b(n-1) ....................2
. .
. .
b2 - b1 =1/2 -b2 ...................n-1
把上面的n-1个式 左边加左边 右边加右边 并令Hn为bn的前n项和
bn-b1=(1-1/2^(n-1))-(Hn-b1)
整理便得到
Hn=1-(n-2)/2^n(n从1开始)

祝你学习愉快