Question

初三一道二次函数题

如图,已知△OAB的顶点A(3,0)B(0,1)O是坐标原点，将△OAB饶点O按逆时针旋转90°，得到△ODC
（1）写出C，D两点的坐标
（2）求过C,D,A三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的定点M的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点N使得NA=NM？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1,设D在y轴上，C在x轴上，则有C（-1,0),D(0,3)

2.设抛物线方程为y=ax^2+bx+c.将三点的坐标代入并解得a=-1 b=2 c=3.所以抛物线解析式为y=-x^2+2x+3

=-（x-1)^2+4.所以顶点M（1,4）

3.设N（x，y）。则有 NA=根号下[（x-3）^2+y^2],NM=根号下[(x-1)^2+(y-4)^2]

将两式相等化简得 x-2y+2=0 又因为N在AB上，AB方程为 x+3y-3=0

联立两方程解之得N（0，1），整好为B点。故存在

祝你学习愉快

Answer 2

解：（1）C（－1，0）；
D（0，3）；
（2）设：该抛物线解析式为y＝a（x－m）（x－n），
将A，C，D三点坐标带入得：
y＝－（x＋1）（x－3），
∴顶点坐标为（1，4）；
（3）AM解析式为y＝－2x＋6，
则AM中垂线PN解析式为y＝0.5x＋1，
∴AB与PN交点为（0，1），即点B，
∴有，N（0，1）。

Answer 3

（1）C（-1,0），D（0,3）
（2）依题意可以设抛物线为y=a（x-3）（x+1）
且其经过D点（0,3）代入原方程式中，即3=a（-3）*1，所以a=-1
所以函数式为y=-x²+2x+3
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4所以顶点坐标为（1,4）
（3）连接AM，若NA=NM，则N点必然在直线AM的中垂线上
A（3,0），M（1,4）易得AM的方程为y=-2x+6，则AM中垂线的斜率为1/2
AM的中点（2,2），所以AM的中垂线的方程为y-2=（x-2）/2
这条直线要与线段AB有交点
A（3,0），B（0,1），所以AB的方程为y=-1/3（x-3），且0≤x≤3
联立两个方程
y-2=（x-2）/2
y=-1/3（x-3），
解得x=0，y=1，满足0≤x≤3
所以存在这样一点，其坐标为（0,1）

Answer 4

（1)因为A(3,0)B(0,1)
所以OB=1,OA=3
所以OC=OB=1,OD=OA=3
所以C（-1,0），D（0,3）
（2）设抛物线为ax^2+bx+c
代入三点坐标
得a=-1,b=2,c=3
所以y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4
所以M（1,4）
（3）先求得AB解析式，AB：y=-1/3x+1
若存在，设为N（x,-1/3x+1)
（x-3)^2+(-1/3x+1)^2=(x-1)^2+(-1/3x+1-4)^2
x=0,所以N（0,1）