Question

设函数f(x)=1/4x^2+1/2x-3/4,对于正整数列{an}

设函数f(x)=1/4x^2+1/2x-3/4,对于正整数列{an}，其前n项和为Sn，且Sn=f(an),(n∈N*）。
（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在等比数列{bn},使得a1b1+a2b2+……+anbn=2的n+1次方*(2n-1)+2对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由

Answer 1

解（1）Sn=f(An)= 1/4 An ^2+1/2 An -3/4
当n≥2时，An= Sn-Sn-1=1/4 An ^2+1/2 An-1/4 An-1 ^2-1/2 An-1
由此式得An- An-1=2 （n≥2）
由A1 = 1/4 A1 ^2+1/2 A1 -3/4 解得A1=3或者A1= -1（舍去）
所以数列{An}是以3为首项，2为公差的等差数列
故An=2n+1
（2）假设存在
由a1b1+a2b2+...+anbn=2^n+1•(2n-1)+2得
a1b1+a2b2+...+an-1bn-1=2^n• (2n-3)+2
两式相减得，anbn=(2n+1) • 2^n
因为An=2n+1
所以bn=2^n