Question

一道简单的求曲面积分的题目，求助！

题目如下：
计算曲面积分∫∫z² dS,其中∑是柱面x²+y²=4介于z=0,z=3之间的部分。

初学，有点迷糊，不应该把曲面∑用z=z(x,y）表示么，z怎么表示啊？详细说下，谢了！

Answer 1

设x=2*cos（t），y=2*sin（t），z=z，（柱坐标变换），那么积分区域就是：
t属于[0，2pi]
z属于[0，3]
此时被积函数为z^2乘以根号下（a^2+b^2+c^2）,其中a为 x对t的偏导，x对z的偏导，y对t的偏导，y对z的偏导这四个元素排成的2乘以2的矩阵的行列式；b为y对t的偏导，y对z的偏导，z对t的偏导，z对z的偏导这四个元素排成的2乘以2的矩阵的行列式；c为 z对t的偏导，z对z的偏导，x对t的偏导，x对z的偏导这四个元素排成的2乘以2的矩阵的行列式。
这样该曲面积分就被化成一个二重积分了。