Question

如图，在三角形ABC中,∠BAC是锐角,AB=AC,AD和BE是高,他们交于点H，且AE=BE

（1）求证：AH=2BD
（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由。

Answer 1

（1）简要步骤
∠BHD=∠AHE
∠HDB=∠AEH=90°
∴∠EBC=∠HAE
BE=AE
∠BEC=∠AEH=90°
∴△BEC≌△AEH
∴AH=BC
∵BC=2BD
所以AH=2BD
（2）简要步骤
成立
上述证明中根本没有用到∠BAC是锐角的条件，因此只要∠BAC在0到180°之间都能得出结论AH=2BD

Answer 2

(1)△ABE为等腰直角三角形 BD=CD
∠CBE=∠HAE BE=AE ∠BEC=∠AEH
∴△BCE≌△AHE AH=BE=2BD
(2)仍成立
∠BAC=135 ∠BAE=45 △ABE为等腰直角三角形 BD=CD
∠BCE=∠EHA ∠BEC=∠AEH BE=AE
∴△BEC≌AEH AH=BC=2BD