Question

数学难题 解答

已知A B 都是锐角 （sinA）^2 +（sinB）^2 =sin（A+B）求证 A+B=π/2
定理不是sinB*sinB+cosB*cosB=1,有sinA*sinA+sinB*sinB=1这个定理吗
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我还想问一下为什么（cos2a+cos2b)/2=》cos(a+b)cos(a-b)

Answer 1

方法1：

由倍角公式，得(1-cos2a)/2+(1-cos2b)/2=sin(a+b)
即1-（cos2a+cos2b)/2=sin(a+b)
由和差化积，得1-cos(a+b)cos(a-b)=sin(a+b)
即cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)=1(*)
因为sin(a+b)<=1,故cos(a+b)cos(a-b）>=0,而cos(a-b）>0,故cos(a+b)>=0，
所以0＜a+b＜=90
sin(a+b)>=[sin(a+b)]^2,1=cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)>=cos(a+b)cos(a-b）+[sin(a+b)]^2-1+1=cos(a+b)cos(a-b）-[cos(a+b)]^2+1,
即cos(a+b)cos(a-b）<=[cos(a+b)]^2,cos(a+b)[cos(a-b）-cos(a+b)]<=0,
显然0<|a-b|<a+b<90,故cos(a-b）=cos|a-b|>cos(a+b),所以cos(a+b)<=0。
因cos(a+b)>=0,故cos(a+b)=0，a+b=90

方法2：

sina^2+sinb^2=sin(a+b)
sina(sina-cosb)+sinb(sinb-cosa)=0(*)
显然a+b=90成立（我们的习惯是考虑特殊的－－不是吗？）
当0＜a+b＜90
sina<sin(90-b)=cosb
sinb<sin(90-a)=cosa
sina-cosb<0 sinb-cosa<0
sina(sina-cosb)+sinb(sinb-cosa)<0
当90＜a+b＜180
90-a<b<90
cosa<sinb
sina>cosb
sina(sina-cosb)+sinb(sinb-cosa)>0
显然必有a+b=90

Answer 2

一楼的做法肯定是错的，不过我也没想到简单的方法，提供一种反证法：
设A+B>pi\2
则sinA>cosB
所以(sinA)^2+(sinB)^2>1,即sin(A+B)>1,矛盾
设A+B<pi\2
将sin(A+B)展开并移项，得sinA*(sinA-cosB)=sinB*(cosA-sinB)
因为，sinA<cosB,cosA>sinB
所以上式两端符号不同，即一端为正，一端为负，矛盾
综上，A+B=pi\2
其中关于大小以及符号的判断要根据A,B是锐角的条件，没写出来，楼主自己注意一下

Answer 3

一楼方法一 不太对
方法二对了