逆矩阵怎么求?
2024-07-18 广告
1、伴随矩阵法
如果矩阵A可逆,则
的余因子矩阵的转置矩阵。
(|A|≠0,|A|为该矩阵对应的行列式的值)
A的伴随矩阵为
其中Aij=(-1)i+jMij称为aij的代数余子式。
2、初等行变换法
在行阶梯矩阵的基础上,即非零行的第一个非零单元为1,且这些非零单元所在的列其它元素都是0。综上,行最简型矩阵是行阶梯形矩阵的特殊形式。
一般来说,一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵,当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时,一般写作 可以证明:任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成行阶梯型矩阵。
方法是一般从左到右,一列一列处理先把第一个比较简单的(或小)的非零数交换到左上角(其实最后变换也行)。
用这个数把第一列其余的数消成零处理完第一列后,第一行与第一列就不用管,再用同样的方法处理第二列(不含第一行的数)。
扩展资料
性质定理:
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
参考资料来源:百度百科-逆矩阵
1、初等变换法
对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若百干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。
如求
的逆矩阵A-1。
故A可逆并且,由右一半可得逆矩阵A-1=
2、伴随矩度阵法
如果矩阵
可逆,则
注意:
中元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要问求得
即为求解
,其中Aij=(答-1)i+jMij称为aij的代数余子式。
扩展资料:
可逆矩阵的性质定理
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一回的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个答可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
参考资料来源:百度百科-逆矩阵
对于多行多列的矩阵以上方法就麻烦了,用一下方法:假设原矩阵是A,单位阵是E就是对角线上是1其余全为0的矩阵,构造的新的矩阵是(A,E)的时候,(可看为分块矩阵,就是两个矩阵直接拼了起来)只进行初等行变换变为(E,B)则B就是他的逆。(A,E)看成是一个3行6列的矩阵,进行行变换,前面怎么变,后面就是怎么变,例如说第一行加上第二行,就是第一行的六个元素分别加上第二行的六个元素。但是是以将前面3行3列化为单位阵为目的进行变换。(还有一种用列变换的原理一样,会一种就好了。)
伴随阵法:A^(-1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式的值,A*为矩阵A的伴随矩阵。
行初等变换法:(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。
注意:初等变化只用行(列)运算,不能用列(行)运算。E为单位矩阵。
一般计算中,或者判断中还会遇到以下11种情况来判断是否为可逆矩阵:
1 秩等于行数
2 行列式不为0
3 行向量(或列向量)是线性无关组
4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5 作为线性方程组的系数有唯一解
6 满秩
7 可以经过初等行变换化为单位矩阵
8 伴随矩阵可逆
9 可以表示成初等矩阵的乘积
10 它的转置矩阵可逆
11 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变
可逆矩阵的性质
1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
2 可逆矩阵一定是方阵。
3 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
求解逆矩阵的举例,对于如下行列式A:(以二阶方阵为例)
|3 0|
|2 1|
对于元素3,其代数余子式是(-1)^(1+1)*1=1;对于元素0,其代数余子式是(-1)^(1+2)*2=-2;对于元素2,其代数余子式是(-1)^(2+1)*0=0;对于元素1,其代数余子式是(-1)^(2+2)*3=3,所以矩阵A的伴随阵A*是:
|1 0|
|-2 3|而A的行列式|A|=3*1-2*0=3所以A^(-1)=(1/|A|)*(A*)=
1/3|1 0|
|-2 3|