Question

一数学题 高1的（a^2+b^2+c^2）(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2 求证a:x=b:y=c:z

恩 都是不为零的实数 我仔细看看.. 本人表示看不懂...

Answer 1

少了个条件吧，a、b、c、x、y、z均不等于0

用函数构造法
设A=a²+b²+c²，B=ax+by+cz，C=x²+y²+z²，则AC=B²
构造函数f(p)=Ap²+2Bp+C
则判别式=(2B)²-4AC=4B²-4AC=0
所以方程f(p)=0必有解
f(p)=(a²+b²+c²)p²+2(ax+by+cz)p+x²+y²+z²
=(ap+x)²+(bp+y)²+(cp+z)²=0
要使方程有解，必有
ap+x=bp+y=cp+z=0
ap+x=0
ap=-x
a:x=-1/p
同理b:y=-1/p
c:z=-1/p
所以a:x=b:y=c:z

Answer 2

把式子全展开
a^2*x^2+b^2*x^2+c^2*x^2+a^2*y^2+b^2y^2+c^2*y^2+a^2*z^2+b^2z^2+c^2*z^2=a^2*x^2+b^2y^2+c^2*z^2+2abxy+2acxz+2bcyz
b^2*x^2+c^2*x^2+a^2*y^2+c^2*y^2+a^2*z^2+b^2*z^2=2abxy+2acxz+2bcyz
(b^2*x^2+a^2*y^2-2abxy)+(c^2*x^2+a^2*z^2-2acxz)+(c^2*y^2+b^2*z^2-2bcyz)=0
(bx-ay)^2+(cx-az)^2+(cy-bz)^2=0
bx=ay
cx=az
cy=bz
由此得出结果