Question

高三数学函数问题

已知a为实数，f(x)=x^3-ax^2。
1.求函数在区间[1,2]上的最小值h(a)。
2.对于上题中的h(a)，若h(a)=m*(a+0.5)有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围。
要求有完整的过程。

Answer 1

【1】对于函数，先求导，得到3x²-a。当a小于零时函数恒增长，因此[1,2]上最小是1时取到。【即1-a（a＜0）】
当x＞0时，导函数等于零有解，为±√（a÷3），然后讨论其是否在区间内。注意我们此时只要讨论√（a÷3）【这是极小值】就可以了
当√（a÷3）大于零小于1，即0≤a≤3，仍然是1时取到最小值，【即1-a，综上a≤3】
当√（a÷3）大于1小于2，即3＜a＜12，于极值点取到最小值，【即 -（2a√3a）÷9，3＜a＜12】
当√（a÷3）大于2，即a≥12，于2取到最小值，【即8-2a，a≥12】

【2】可以利用图像，作出草图，目标函数是恒递减的，再设H（a）=m×（a+0.5）过定点（-0.5,0）。可以直接看出斜率m的范围要小于-1大于-2。