Question

函数问题。。。急！

函数f(x)定义域为R,且恒满足f(x+2)=f(2-x)和f(x+6)=f(6-x),当2≤x≤6时，f(x)=2-(1/2)x，求f(x）的解析式
1楼，好像不对哦！！！按你所说那他的值域为(-∞.∞)了，可是他的值域为（-1.1）啊！

Answer 1

设-2≤x≤2，则2≤4-x≤6，

∵当2≤x≤6时，f(x)=2-(1/2)x=2-(x/2) ①

∴f(4-x)=2-[(4-x)/2]=x/2.

又f(4-x)=f(2+(2-x))=f(2-(2-x))=f(x)

∴f(x)= x/2

因此，当-2≤x≤2时，f(x)= x/2，②

又∵函数f(x)定义域为R,且恒满足f(x+2)=f(2-x)和f(x+6)=f(6-x),

∴f(8+x)=f(6+(2+x))= f(6-(2+x))=f(4-x)

= f(2+(2-x))= f(2-(2-x))=f(x)

∴f(x)是以8为周期的周期函数. ③

由①②③可得，f(x)的解析式为

当8k-2≤x≤8k+2，k∈Z时，f(x)=f(x-8k) =(x-8k)/2；

当8k+2≤x≤8k+6，k∈Z时，f(x) =f(x-8k)= 2-(1/2) (x-8k).

Answer 2

设2-X=A，则X=2-A，由f(x+2)=f(2-x)，F（2-A+2）=F（A），得F（4-X)=F(X),则F(X)关于2对称.同理,由f(x+6)=f(6-x),F(12-X)=F(X),则F(X)关于6对称.则F(X)为周期函数，且2到12为一个周期,8为最小正周期。则F（X）=2-（1/2）X，X属于2+8K到6+8K;F（X）=（1/2）X-2,X属于6+8K到期10+8K,K属于Z.

Answer 3

由f(x+2)=f(2-x),得f(x)=f(4-x)
由f(x+6)=f(6-x), 得f(x)=f(12-x)
所以f(4-x) =f(12-x) 令4-x=t,则有f(t)=f(t+8),这说明函数周期为8。
当-2≤x<2时，2≤4+x<6
∴f(x)=f(4-x)= 2-(1/2)( 4-x)=1/2x
所以-2+8k≤x<2+8k（k∈Z）时 f(x)=f(x-8k)= 1/2(x-8k)=1/2x-4k,
2+8k≤x≤6+8k（k∈Z）时 f(x)=f(x-8k)= 2-(1/2) (x-8k)=2-1/2x+4k.