Question

对sinα的倒数积分

对函数y=1/sinα从0到π积分
怎么做？

Answer 1

下图提供三种积法,点击放大,再点击,再放大.

(已经传上，稍等即可)

Answer 2

积分:1/sinxdx
=积分:1/(2sinx/2cosx/2)dx
=1/2积分:(sinx/2^2+cosx/2^2)/(sinx/2cosx/2)dx
=1/2积分:(tanx/2+cotx/2)dx
=1/2*[(-2)ln|cosx/2|+2ln|sinx/2|)+C
=ln|sinx/2|-ln|cosx/2|+C
=ln|tanx/2|+C
然后代入0和1就好了
======
∫dx/sinx
=∫dx/(2sin(x/2)cos(x/2))
=∫d(x/2)/(tan(x/2)cos²(x/2))
=∫d(tan(x/2))/tan(x/2)
=ln|tan(x/2)|+c

Answer 3

解:不妨积分号用f表示有f(0,π)1/sinx dx=f(0,π)sinx/(1-cosx^2)dx
=-f(0,π)1/(1-cosx^2)d(cosx)=-f(1,-1)1/(1-x^2)dx=f(1,-1)1/(x^2-1)dx=
f(1,-1)1/(x-1)(x+1)dx=infinity即无穷大.
也可以这样做:因为:f1/sinx dx=ln(csc(x)-cot(x))再代入上下限即可.

Answer 4

∫y dx =∫1/sinα dx
=∫sinα /sin²α dx
=∫1/sin²α d（sinα）
= -1/sinα
所以 ∫（0，π）y dx= -1/sinα |（0，π）
= -1/sinα |（0,π/2)-1/sinα |（π/2,π）
=0
如果有些不清楚的，还是多看看书吧。