Question

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的n∈N＋，都有8Sn=（an+2）^2

（1）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；
（2）设bn=4/(an×a(n+1))，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜m/20对所有n∈N，都成立的最小的正整数m的值。

Answer 1

（1）8a1=(a1+2)^2
得a1=2
8Sn==（an+2）^2①
8S(n-1)=(a(n-1)+2)^2②
①-②得8an=an^2-a(n-1)^2+4an-4a(n-1)
[an-a(n-1)-4](an+a(n-1))=0
因为an+a(n-1)≠0
所以an-a(n-1)-4=0
即an-a(n-1)=4
用累加法得an=4n-2
(2)bn=4/(an×a(n+1))=1/an-1/a(n+1)
Tn=b1=+2+…………+bn=1/a1-1/a(n+1)=1/(2n+1)
所以Tn max=1/3<m/20
m=7