Question

数学高手请进 关于圆的轨迹方程

1长为2A的线段AB的两个端点A和B分别在X轴和Y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程。
2已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1/2，求点M的轨迹方程。

Answer 1

1.设A（a,0),B(0,b)
则AB的长度=√（a²+b²)=2A
线段中点M(a/2,b/2)
MO的长度为√[（a/2)²+(b/2)²]=√(a²+b²)/2=A
∴线段中点M的轨迹方程以 点O（0,0）为圆心，MO的长度为半径，则方程为
x²+y²=A²
2.设点M（x,y)
则MO/MA=1/2 MO的长度为√（x²+y²) MA的长度为√[（3-x)²+y²]
∴2√(x²+y²)=√[(3-x)²+y²]同时平方得4（x²+y²)=(3-x)²+y²
化简得x²+y²+2x-3=0
∴点M的轨迹方程为x²+y²+2x-3=0

Answer 2

1）
令中点为M
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
在直角三角形OAB中，OM=1/2AB=a
根据圆的定义，M的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆 (除去与坐标轴的4个交点）
轨迹方程为x^2+y^2=a^2（x≠0，±a)

2）
设M(X,Y),,由题意知│OM│=2│AM│。
根据两点间距离公式得：√（X^2+Y^2）=2√[(X-3)^2+Y^2].
两边平方得：（X^2+Y^2）=4[(X-3)^2+Y^2].
整理得：X^2-8X+Y^2+12=0.
配方得：（X-4）^2+Y^2=4.
轨迹是以点（4，0）为圆心，以2为半径的圆。

Answer 3

1存在x^2+y^2=4a^2
又设中点c（E,F)存在，E=x/2,F=y/2
则，c点的轨迹方程为，4E^2+4F^2=4a^2
也就是 E^2+F^2=a^2
替代一下也就是说
中点c的轨迹方程式x^2+y^2=a^2

2题意得知应该是0M/OA=1/2 =>也就是2om=oa
最笨的方法是用2点间距离公式做
M(x，y)
存在
（x^2+y^2)^0.5 *2=[(x-3）^2+y^2]^0.5
化简，4x^2+4y^2=(x-3)^2+y^2

(X+1)(5x-3)+y^2=0
接着化简啊化简

得到
5x^2+2x-3+y^2=0
就是M的轨迹方程
理论上来说就是这么做的……不过因为我没打草稿直接在网页上做，所以可能存在计算错误……你再自己算一遍演算下吧