Question

已知，梯形ABCD中，AB＝CD,AD平行BC,对角线AC,BD相交于点O，AC垂直BD,DH垂直BC于H ,EF为中位线

求证：EF＝DH

Answer 1

如图：通过D点做AC的平行线与BC的延长线交于D'点。设中线EF与DB交于E’，其延长线与DD’交于F’。

证明：梯形ABCD的中线EF＝E'F'

      E'F'=BD'/2

      因为BD＝AC＝DD'

        且BD 垂直AC

        即BD 垂直DD’

      所以三角形BDD'为直角等腰三角形，角D'为45度。

      而DH垂直于BD'，因此三角形DHD'也为等腰直角三角形

      因此DH=HD'=BH=BD’/2

所以EF=DH