Question

如果关于x的方程ax+1/x^2 =3有且仅有一个正实数解,那么实数a的取值范围为 请写出详细过程

Answer 1

x≠0,
所以ax+1/x^2=3与ax^3-3x^2+1=0的解完全相同（易知0不是后一个方程的解）
引入函数
f(x)=ax^3-3x^2+1
则“ax+1/x^2=3有且仅有一个正数解”与“f(x)的图像与x正半轴有且仅有一个交点”等价。
f'(x)=3x(ax-2)
当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解√3/3;
当a>0时,令f'(x)>0,f'(x)<0,
得f(x)在（-∞,0)和(2/a,+∞)上单调递增，在（0，2/a)上单调递减，
f(0)=1,知若要满足条件只有x=2/a时f(x)取到极小值0。
x=2/a代入原方程得到正数解a=2;
当a<0时，同理f(x)在（-∞，2/a)和(0,+∞)上单调递增，在（2/a,0)上单调递减，
f(0)=1>0,所以此时不存在满足条件的a.
综上，a=0或a=2.

Answer 2

方程可化为ax^3-3x^2+1=0
设f(x)=ax^3-3x^2+1
则f'(x)=3ax^2-6x

当a=0时，方程可得x=±√3/3，符合条件

当a>0时，2/a>0
令f'(x)>0，知f(x)在（-∞,0)和(2/a,+∞)上单调递增
令f'(x)<0，知f(x)在（0，2/a)上单调递减
因f(0)=1，f(-∞)=-∞，f(+∞)=+∞
则函数极小值f(2/a)=0，得a=2

当a<0时，2/a<0
令f'(x)>0，知f(x)在（2/a,0)上单调递增
令f'(x)<0，知f(x)在（-∞，2/a)和(0,+∞)上单调递减
因f(0)=1，f(-∞)=+∞，f(+∞)=-∞
函数必有正实数解，且仅有一个

于是得到答案，a≤0，或a=2