Question

一道很短的数学题目。。。也是难题。请数学高手帮忙

f(x)=ax的平方+bx+c 对一切实数x属于[-1,1] 都有|f(x)|<=1
求证
对一切x属于[-1,1]都有|2ax+b|<=4

Answer 1

由已知－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤f(0)≤1
而对于函数g(x)＝2ax＋b
当a＞0时，函数g(x)是增函数，有g(－1)≤g(x)≤g(1)
又g(1)＝2a＋b＝1/2[3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－4c]＝1/2[3f(1)＋f(－1)－4f(0)]≤1/2[3×1＋1－4×(－1)]＝4
g(－1)＝－2a＋b＝－1/2[(a＋b＋c)＋3(a－b＋c)－4c]＝－1/2[f(1)＋3f(－1)－4f(0)]≥－1/2[1＋3×1－4×(－1)]＝－4
∴－4≤g(x)≤4
从而|g(x)|≤4，即|2ax＋b|≤4
当a＜0时，类似可得|2ax＋b|≤4
当a＝0时，|2ax＋b|＝|b|＝1/2|(a＋b＋c)－(a－b＋c)|≤1/2|a＋b＋c|＋1/2|a－b＋c|≤1/2|f(1)|＋1/2|f(－1)|≤1
综上所述，对于一切x∈[－1，1]，都有|2ax＋b|≤4