Question

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD 求证：AC=2AE

Answer 1

证明：延长AE到F，使得AE=EF,连BF FC FD
延长AD，交FC于G
∵BE=ED AE=EF
∴ABFD为平行四边形
且AB=BD
∴∠BAD=∠ADB ∠CDG=∠ADB
∴∠BAD=∠CDG
又AB‖DF
∴∠BAD=∠GDF
∵BE=ED BD=DC
∴DC=2ED
又AE=EF
∴AG是三角形AFC的FC边上的中线
∴FG=GC
∴DG是三角形DFC在FC边上的中线
又∵∠BAD=∠GDF
∴DG是三角形AFC的FC边上的角平分线
∵两线重合
∴AG⊥FC GF=FC
∴两线重合
∴三角形AFC为等腰三角形
∴AF=AC
又AF=2AE
∴AC=2AE

Answer 2

证明：延长AE到F，使EF=AE
在△ABE与△FDE中，
∵BE=DE （∵AE是△ABD边BD上的中线）
∠AEB=∠DEF （对顶角）
EF=AE
∴△ABE≌△FDE （边，角，边）
∴∠EDF=∠ABE，DF=AB
在△ADF与△ACD中，
∵DF=AB=CD （∵AD是△ABC边BC上的中线，且BA=BD ）
∠ADF=∠ADE+∠EDF
=∠BAD+∠ABE （∵BA=BD ）
=∠ADC （三角形的外角定理）
AD=AD （公共边）
∴△ADF≌△ACD （边，角，边）
∴AC=AF=AE+EF=2AE （∵EF=AE）
故AC=2AE ，证毕。

Answer 3

∵ad 是中线 ab=bd
∴bc=2ab
用三角函数能得到 角abc分别是90°，60，30.
ab=bd
∴abd是等边三角形
e是bd中点，所以ae垂直bc
所以ac=2ae