Question

对于函数f（x）=cosx+sinx，给出下列四个命题，要过程~

1。存在α属于（0，pai/2），使 f（α）=4/3
2。存在α属于（0，pai/2），使f(x+α)=f(x+3α)恒成立
3。存在θ∈R，使函数f(x+θ)的图象关于y轴对称
4。函数f(x)的图象关于点（3pai/4，0）对称 答案134要过程~

Answer 1

1.f（x）=cosx+sinx=√2sin(x+π/4),
当x∈（0，π/2）时，(x+π/4) ∈（π/4，3π/4），
所以sin(x+π/4) ∈（√2/2,1）, f（x）∈（1,√2）,
而4/3∈（1,√2），所以第一个命题成立。
2.f(x+α)=f(x+3α)，说明函数的周期是2α，
而f（x）=cosx+sinx=√2sin(x+π/4)的最小正周期是2π，
则2α=2π，α=π. π不属于（0，π/2）.
所以第二个命题不成立。
3.θ=π/4时，f(x+θ)= √2sin(x+π/4+π/4)= √2sin(x+π/2) =√2cosx是偶函数，偶函数的图像关于y轴对称。
所以存在θ=π/4，使函数f(x+θ)的图象关于y轴对称，该命题成立。
4. x=3π/4时，f（3π/4）=√2sin(3π/4 +π/4)=0，所以图象关于点（3π/4，0）对称，该命题成立。