Question

高中二次函数

f(X)=x^2+2ax+b(b<a<1),f(1)=0,且方程f(x)+1=0有实根,求证：-3<b=<-1且a>=0

若m是方程f（x)+1=0的一个实根，判断f(m-4)的正负，并证明

Answer 1

分析：①f(1)=0,∴代入1+2a+b=0
②f(x)+1=0有实根 ∴判别式=4a²-4（b+1）≥0
(把 ②中的a用①式转化的a=-1- b/2换掉)
∴b²-2b-3≥0
∴ 3<b或b≤-1（把b再换成带a的式子得a>=0 ）

M^2+2AM-2A=0 .......1
(M-4)^2+2A(M-4)-1-2A=Y........2
2-1式,得
15-8M-8A
又0<A<1 -3<M<-1
所以,f(m-4)>0

大丹老师飘过
沈阳智萌教育

Answer 2

f(1)=0
=>f(1)=1+2a+b=0
=>a=-(1+b)/2
f(x)+1=x^2+2ax+b+1=0有实根，则：
Δ=4a^2-4(b+1)>=0 (a)
=>(1+b)^2-4(b+1)>=0
=>(b+1)(b-3)>=0
=>b<=-1 (b<1) (i)

又a<1
=>-(1+b)/2<1
=>b>-3 (ii)
(i)(ii)=>-3<b<=1

a=-(1+b)/2 (b)
=>-1<=a<1
将（b）代入（a）=>
4a^2+2a>=0
=>a>=0 (a>=-1,所以舍去a<=-2)

(2)
m是x^2+2ax+(b+1)=0的根，
则m^2+2am+b+1=0
=>m^2+2am-2a=0
=>(m+a)^2+(a^-2a)=0
=(m+a)^2=(2a-a^2)=1-(a-1)^2<1
=>-1<m+a<1
又由上面的证明可知，0<=a<1,因此有：
=>-2<m<1

f(m-4)=(m-4)^2+2a(m-4)+b+1
=m^2+2am+b+1-8m+16-8a
=16-8m-8a>16-8-8=0

因此f(m-4)>0