Question

已知x1、x2是一元二次方程4kx^2-4kx+1=0的两个实数根。1、是否存在实数k 使(2x1-x

已知x1、x2是一元二次方程4kx^2-4kx+1=0的两个实数根。1、是否存在实数k 使（2x1-x2）(x1-2x2)=—3/2成立？若存在求出k的值。若不存在。请说明理由。 2、求使x1/x2+x2/x1-2的值为整数的实数k的整数值。

Answer 1

由题知x1+x2=1，x1*x2=1/4k,(2x1-x2)(x1-2x2)=2x1^2-5x1*x2+2x2^2=2(x1+x2)^2-9x1*x2=2-9/4k=-3/2,得k=9/14,由题知一元二次方程有两个实数根得16k^2-16k>0,k>1或k<0,所以k=9/14舍去，所以不存在这样的k；x1/x2+x2/x1-2=(x1^2+x2^2-2x1x2)/(x1x2)=[(x1+x2)^2-4x1x2]/(x1x2)=[1-4*(k+1)/(4k)]/(k+1)/(4k)=-4/(k+1)，要使x1/x2+x2/x1-2 的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，所以k＋1只能取±1，±2，±4．又因为k＜0，所以k＋1＜1，所以k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5．综上可知能使x1/x2+x2/x1-2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5。

Answer 2

1、x1、x2是一元二次方程4kx^2-4kx+1=0的两个实数根
∴△=(-4k)^2-16k≥0 k(k-1)≥0 ∴ k≥1或k≤0
假设存在实数k 使（2x1-x2）(x1-2x2)=—3/2成立，则
（2x1-x2）(x1-2x2)=2(x1)^2+2(x2)^2-5x1x2=2(x1+x2)^2-9x1x2
∵x1+x2=1 x1x2=1/(4k)
∴（2x1-x2）(x1-2x2)=2-9/(4k)=-3/2 ∴k=9/14
又k≥1或k≤0
∴不存在实数k 使（2x1-x2）(x1-2x2)=—3/2成立
2、x1/x2+x2/x1-2=[(x1)^2+(x2)^2]/(x1x2)-2=[(x1+x2)^2-2x1x2]/(x1x2)-2
=[1-1/(2k)]*(4k)-2=4k-4
要使x1/x2+x2/x1-2的值为整数 即使4k-4的值为整数
∴k为整数