Question

微积分拉格朗日乘数法一道题

Answer 1

　　解：由题设条件，产量为x的产品价格p=4(70-x)、产量为y的产品价格Q=2(120-y)。因而，两产品销售收入函数f(x,y)=xp+Qy=4x(70-x)+2y(120-y)=280x-4x^2+240y-2y^2。
　　∴利润函数R(x,y)=f(x,y)-c(x,y)=-5x^2-3y^2-4xy+290x+230y-500。
　　又，x+2y=50，用拉格朗日乘数法，∴设F(x,y)=R(x,y)+λ(50-x-2y)，分别求F(x,y)对x、y、λ的偏导数，并令其为0，
　　∴Fx(x,y)=-10x-4x+290-λ=0、Fy(x,y)=-6y-4x+230-2λ=0、Fλ(x,y)=50-x-2y=0，
　　解得x=20，y=15时，R(x,y)有最大值4875。此时，价格p=200、Q=210。
　　供参考。

追问

你好，x=20. y=15，产量210 价格200是怎么算出来的

追答

　　∵Fx(x,y)=-10x-4y+290-λ=0①、Fy(x,y)=-6y-4x+230-2λ=0②、Fλ(x,y)=50-x-2y=0③，由①、②消去λ，有16x+2y=350，与③联立，解得x=20，y=15。
　　再将x=20，y=15代入需求函数，即得p=200、Q=210。