Question

高数当中被积函数和积分弧段有什么关系吗？为什么积分弧段的函数表达式可以带入到被积函数中呢？

有人说被积函数是方程，积分弧度表示轨迹，这句话我不懂是什么意思？谢谢！！

Answer 1

注意：积分是在积分区域上进行的，被积函数中的变量(x,y,z等)指的是积分区域中的变量，那么这些变量在积分区域上满足的表达式自然可以代入到被积函数的表达式中。
例如，在圆周上的曲线积分表示对圆周上的点(x,y)积分，而圆周上的点(x,y)满足x^2+y^2=R^2，这个表达式自然可以代入到被积函数中去。所以说，被积函数是一个表达式，积分弧度表示表达式中变量所满足的规律（这些规律即表示一个轨迹）。曲面积分也是同样的道理。

但是，对于一般的二重、三重积分，却不能直接代入。明白了上面的道理，这个也容易理解，因为积分是在积分区域上进行的，只有区域边界才满足给定的等式，区域内部并不满足；而积分是在区域边界以及内部进行的，所以对于内部的点，并不满足边界方程。