Question

已知函数fx=ax∧3+bx∧2-2有且仅有两个不同的零点x1 ，x2，则

当a>0或a<0时 分别讨论x1+x2和 x1x2的正负

Answer 1

f'(x) = 3ax² +2bx = x(3ax + 2b)= 0

x = 0或x = -2b/(3a)

即f(x)有两个极值点．

(1) a > 0

x趋近于－∞时，f(x)趋近于－∞

x趋近于+∞时，f(x)趋近于+∞

左边的极值点为极大，右边的为极小．

要使f(x)恰好有两个不同的零点，则有两种可能：

(i) 0  < -2b/(3a)

此时f(0) = 0或f(-2b/(3a)) = 0

但f(0) = -2,所以前者不成立.

按上面所述，f( -2b/(3a)) < f(0) <0, 此时只可能在x = -2b/(3a)右侧有一个零点

0  < -2b/(3a)时不可能

(ii) -2b/(3a) < 0, b >0
此时f(0) = 0(不可能)或f(-2b/(3a)) = 0

a >0, b >0, 此式可能

此时二根均在x轴左侧, 即其和<0, 其积>0

(2) a <0

x趋近于-∞时，f(x)趋近于+∞

x趋近于+∞时，f(x)趋近于-∞

左边的极值点为极小，右边的为极大．

(i) 0  < -2b/(3a), b > 0

此时f(0) = 0或f(-2b/(3a)) = 0

但f(0) = -2,所以前者不成立.

a < 0, b > 0, 此式可能

此时二根均在x轴右侧, 即其和与积均>0

(ii) -2b/(3a) < 0, b < 0
此时f(0) = 0(不可能)或f(-2b/(3a)) = 0

按上面所述，f( -2b/(3a)) < f(0) <0, 此时只可能在x = -2b/(3a)左侧有一个零点

-2b/(3a) < 0时不可能

Answer 2

这个问题很简单。有题意可知函数可以表为f(x)=a(x-x1)^2*(x-x2)或f(x)=a(x-x1)*(x-x2)^2。只讨论第一种情况，第二种情况类似可讨论。展开函数得
f(x)=a[x^3-(2*x1+x2)x^2+(2*x1*x2+x1^2)x-x1^2*x2]
比较得：2*x1*x2+x1^2=0，a*x1^2*x2=2
可得： i、x1、x2都不为零； ii、x1*x2<0 ； iii、x1=-2*x2。
结论：当a>0时，x2>0，x1+x2=-x2<0；当a<0时，x2<0，x1+x2=-x2>0。