Question

椭圆方程

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0）求椭圆的方程
M为椭圆的上顶点

Answer 1

您好，你的题目是有误的，只知道一个焦点是求不出原方程的。现在我有如下题目看能否一样？
已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)在椭圆上（2）已知直线l过点F，且与椭圆交于A.B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得向量QA·QB=－7/16恒成立。若存在求出Q点坐标。

解：c=1；将点(-1，,√2/2)代入椭圆方程得：1/a²+1/(2b²)=1.........(1)；a²-b²=1............(2)
由(1)得2b²+a²=2a²b²，将a²=b²+1代入得2b²+b²+1=2(b²+1)b²，2b⁴-b²-1=(2b²+1)(b²-1)=0，
故得b²=1，a²=2，于是得椭圆方程为x²/2+y²=1.即x²+2y²-2=0.
设过右焦点F(1，0)的直线方程为y=k(x-1)，代入椭圆方程得x²+2k²(x-1)²-2=0，
化简得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0；设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；依维达定理，可知：
x₁+x₂=4k²/(1+2k²)；x₁x₂=2(k²-1)/(1+2k²)；
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[2(k²-1)/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1]=-k²/(1+2k²)；
设Q(m，0)；那么QA=(x₁-m，y₁)；QB=(x₂-m，y₂)；
于是QA•QB=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂
=2(k²-1)/(1+2k²)-4mk²/(1+2k²)+m²-k²/(1+2k²)=[(2m²-4m+1)k²+m²-2]/(1+2k²)..........(3)
令m²-2=-7/16..........(4)，得m²=2-7/16=25/16，故得m=5/4；
此时2m²-4m+1=50/16-5+1=50/16-4=-14/16............(5)；
将(4)和(5)代入(3)式得[(-14/16)k²-7/16]/(1+2k²)=-(7/16)(2k²+1)/(1+2k²)≡-7/16。
即x轴上存在一定点Q(5/4，0)使得QA•QB=-7/16【即此时QA•QB的值与直线y=k(x-1)的斜率无关】.

追问

m为椭圆的上顶点

追答

M
为椭圆上的顶点也是不能求出来的，不知道M的坐标

追问

可是试卷上是这样的啊

追答

你拍个照片上来吧，你打字也累

追问

考完了，算了吧

Answer 2

只知道c的值是无法求出椭圆方程的，至少还需要一个点坐标。或者a、b、c之间的其他关系