Question

在△ABC中，若a²tan B＝b²tan A，试判定这个三角形的形状

Answer 1

解：sin^2A*sinB/cosB=sin^2B*sinA/cosA.
∵sinA≠0,cosB≠0,∴等式两边同约去sinA*sinB公因式。
∴sinA/cosB=sinB/cosA.
sinAcosA=sinBcosB.
∵sinAcosA=(1/2)*(2sinAcosA)=(1/2)sin2A.【2sinAcosA=sin2A(公式)】
同理，sinBsinB=(1/2)*2sinBcosB=(1/2)sin2B.
∴（1/2)sin2A=(1/2)sin2B. 【两边约去（1/2)]】后得：
∴sin2A=sin2B.
2A=2B.（1）；sin2A=sin(180°-2B) (2) 【同名三角函数值相等，其角度相等，或互补】
由（1)式得： A=B.
∴△ABC为等腰三角形；
由(2)式得：2A=180-2B,2A+2B=180°,A+B=90°.
∴△ABC为直角三角形。
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