∫1/[（x^1/3）+（x^1/2）]dx求不定积分
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解：令x^(1/6)=t，则x^(1/3)=t^2，x^(1/2)=t^3，x=t^6，dx=6t^5dt
于是，原式=∫6t^5dt/(t^2+t^3)
=6∫t^3dt/(t+1)
=6∫[t^2-t+1-1/(t+1)]dt
=6(t^3/3-t^2/2+t-ln│t+1│)+C (C是常数)
=2t^3-3t^2+6t-6ln│t+1│+C
=2x^(1/2)-3x^(1/3)+6x^(1/6)-6ln│x^(1/6)+1│+C。
于是，原式=∫6t^5dt/(t^2+t^3)
=6∫t^3dt/(t+1)
=6∫[t^2-t+1-1/(t+1)]dt
=6(t^3/3-t^2/2+t-ln│t+1│)+C (C是常数)
=2t^3-3t^2+6t-6ln│t+1│+C
=2x^(1/2)-3x^(1/3)+6x^(1/6)-6ln│x^(1/6)+1│+C。
更多追问追答
追问
请问t^3是怎么转化为t^2-t+1-1的呢
追答
不是t^3，而是t^3/(t+1)=t^2-t+1-1/(t+1)。
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