Question

已知f(x)=6x^4-x^3-6x^2-x-12 (1)求证:f(x)能被2x-3和3x+4整除 (2)将f(x)因式分解

求详细过程

Answer 1

解设f(x)=(6X^2+bx+c)(X^2+e)或者f(x)=(2X^2+bx+c)(3x^2+dx+e)
（1）当f(x)=(6X^2+bx+c)(X^2+e)时，原式化成f(x)=6x^4+bx^3+(6e+c)x^2+b*e*x+c*e
∵f(x)=6x^4-x^3-6x^2-x-12 ∴b=-1
6e+c=-6
be=-1
ce=-12 ∴b=-1,e=1,c=-12
∴f(x)=(6x^2-x-12)(x^2+1)=(2x-3)(3x+4)(x^2+1)
∵因式分解的唯一性。∴ f(x)=(2X^2+bx+c)(3x^2+dx+e)就不需再试根。
∴f(x)=(6x^2-x-12)(x^2+1)=(2x-3)(3x+4)(x^2+1)
∴f(x)能被2x-3和3x+4整除

Answer 2

证明：

f(x)=6x^4-x^3-6x^2-x-12
=6(x^4-x^2-2)-(x^3+x)
=6(x^2-2)(x^2+1)-(x^2+1)x
=(x^2+1)(6x^2-12-x)
=(x^2+1)(2x-3)(3x+4)

两个问题得证

追问

由6(x^2-2)(x^2+1)-(x^2+1)x到(x^2+1)(6x^2-12-x)的过程能请解释一下吗？

追答

提取公因式x^2+1：

f(x)=6x^4-x^3-6x^2-x-12
=6(x^4-x^2-2)-(x^3+x) x^4-x^2-2用十字相乘法分解
=6(x^2-2)(x^2+1)-(x^2+1)x 提取公因式x^2+1
=(x^2+1)(6x^2-12-x) 6x^2-x-12用十字相乘法分解
=(x^2+1)(2x-3)(3x+4)