Question

如图 在矩形abcd中 ab=12cm bc=6cm 点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始

如图，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米．点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，以点Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）只要把QA、AP用含t的代数式表示，利用QA＝AP求解；（2）可以分别求出△QAC和△APC的面积；（3）同例4一样，要分两种情况求解．
解：（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t．
当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形．
即6－t＝2t．
解得t＝2（秒）．
所以当t＝2秒时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，
∴S△QAC＝ QA•DC＝ （6－t）•12＝36－6t．
∵在△APC中，AP＝2t，BC＝6，
∴S△APC＝ AP•BC＝ •2t•6＝6t．
∴S四边形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝36－6t＋6t＝36（cm 2）．
由计算结果发现：在P、Q两点的移动过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可以提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来求解：
当 时，△QAP∽△ABC．
∴ ．
解得t＝1.2（s）．
∴当t＝1.2 s时，△QAP∽△ABC．
当 时，△PAQ∽△ABC．
∴ ．
解得t＝3（秒）．
∴当t＝3 s时，△PAQ∽△ABC．

追问

……你看题了么？我这题和人家的不一样欸！而且我这题是相似的好不啦、不是等腰直角三角形的说……

追答

根据题意，可分为两种情况来求解：
当 时，△QAP∽△ABC．
∴ ．
解得t＝1.2（s）．
∴当t＝1.2 s时，△QAP∽△ABC．
当 时，△PAQ∽△ABC．
∴ ．
解得t＝3（秒）．
∴当t＝3 s时，△PAQ∽△ABC．