Question

求曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在(0,1)处的切线方程的详细步骤

求曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在(0,1)处的切线方程

Answer 1

解：设 F(x，y)=sin(xy)+ln(y-x)-x， F在（0，1）某邻域D上连续(注意要y>x)，且 F(0，1)=0
又 F对y的偏导数在D上也连续，而Fy(0，1)≠0，
所以在D上存在唯一一个隐函数，于是可对原方程两边对x求导，即有
cos(xy)(y+xy')+(y'-1)/(y-x)=1，把（0，1）代入得y'(0)=1，所以
(0,1)处的切线方程 L：x-y+1=0.

Answer 2

令F（x，y）=sin(xy)+ln(y-x)-x
,则原方程为F（x，y）=0
由隐函数存在定理有 dy/dx =Fx/Fy Fx 为函数对x的偏导数。
Fx=ycos(xy)-1/(y-x) -1 Fy =xcos(xy)+1/(y-x)
所以，dy/dx|（0，1） = [ycos(xy)-1/(y-x) -1]/[xcos(xy)+1/(y-x)] = -1

Answer 3

等式左右两边都对X求导
得到
cosxy[y+x*(dy/dx)]+[(dy/dx)-1]/(y-x)=1
将x=0,y=1代入，则可求得dy/dx=1
所以切线为y=x+1