Question

设函数f(x)=x^2+ax-lnx 令g(x)=f(x)/e^x,若函数g(x)在区间(0,1]

设函数f(x)=x^2+ax-lnx 令g(x)=f(x)/e^x,若函数g(x)在区间(0,1]上是减函数 求a的取值范围

Answer 1

g(x)在区间(0,1]上是减函数 ，
<==>g'(x)=[f'(x)-f(x)]/e^x<=0,e^x>0,
<==>f'(x)-f(x)=2x+a-1/x-x^2-ax+lnx<=0,①
x=1时①成立，
0<x<1时①变为a<=(x^2-2x+1/x-lnx)/(1-x),记为h(x),
h(1-)→-（2x-2-1/x^2-1/x)→2，
∴a<=2;
反过来，易知，lnx<=x-1,
a<=2时①左=a(1-x)+2x+lnx-x^2-1/x
<=2(1-x)+2x+x-1-x^2-1/x
=1+x-x^2-1/x
=[x(1+x)-(x^3+1)]/x
=(x+1)[x-(x^2-x+1)]/x
=-[(x+1)(x-1)^2]/x<=0,
即①成立，
∴a的取值范围是(-∞，2].

Answer 2

把x=1代入导函数g'(x)=[-x^2 (2-a)x Inx-1/x a]/e^x,得g'(x)=0,则只须证明g'(x)在(0,1)上为增函数即可，对其进行求导，有变式-2x^3 (2-a)x^2 x 1.把x=0代入原式，大于0，由图像可知，当x=1时，原式大于0，则a<2。