Question

求一个过定直线且与一个已知球相切的平面方程

一个平面过直线3x－y－z＝1,x＋3y－2z＝7,而且与球x∧2＋y∧2＋z∧2＝3相切，求该平面方程.

Answer 1

设所求平面方程为 A(3x-y-z-1)+B(x+3y-2z-7)=0 ，
化为 (3A+B)x+(-A+3B)y+(-A-2B)z+(-A-7B)=0 ，
因为平面与球相切，因此球心到平面的距离等于球的半径，
即 |-A-7B| / √[(3A+B)^2+(-A+3B)^2+(-A-2B)^2] = √3 ，
化简得 (2A-B)(16A+7B)=0 ，
取 A=1，B=2 或 A=7 ，B= -16 ，
可得所求平面方程为 (3x-y-z-1)+2(x+3y-2z-7)=0 或 7(3x-y-z-1)-16(x+3y-2z-7)=0 ，
化简得 x+y-z-3=0 或 x-11y+5z+21=0 。