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解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，
∴AE=AM= 12AB= 12AD，
∴AM=DM．
（2）AB∥CD，
∴∠AEM=∠F．
又∠FMD=∠AME，△DFM是等腰三角形，
∴∠AME=∠AEM．
∴DF=DM= 12AD．
∴AD=4．
∴菱形ABCD的周长是16
∴∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，
∴AE=AM= 12AB= 12AD，
∴AM=DM．
（2）AB∥CD，
∴∠AEM=∠F．
又∠FMD=∠AME，△DFM是等腰三角形，
∴∠AME=∠AEM．
∴DF=DM= 12AD．
∴AD=4．
∴菱形ABCD的周长是16
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