Question

还是一道高数题，希望你能给予详细过程，谢谢

要做一个容积为R³的长方体无盖水池，应如何选择长方体的长、宽、高，才能使它的表面积最小。

Answer 1

本题是条件极值问题。
设长、宽、高分别为x, y, z， 则 条件为 xyz-R^3=0, 构造拉格朗日函数
S=xy+2xz+2yz+λ(xyz-R^3),
S'<x>=0, y+2z+λyz=0 (1)
S'<y>=0, x+2z+λxz=0 (2)
S'<z>=0, 2x+2y+λxy=0 (3)
S'<λ>=0, xyz-R^3=0 (4)
因系实际问题，x与y地位完全相同，必相等，联立(1)(2)(3)(4)解得
λ=-2^{5/3)/R, x=y=2^(1/3)R, z=2^(-2/3)R , 此时其表面积最小.

Answer 2

长宽高x,y,z,xyz=R^3
表面积 S=xy+2yz+2xz
构造函数f=xy+2yz+2xz-c(xyz-R^3)
af/ax=y+2z-cyz=0
af/ay=x+2z-cxz=0
af/az=2y+2x-cxy=0
af/ac=xyz-R^3=0
解方程组