Question

已知函数f(x)=sin²x+acosx-1/2a-3/2,x属于R

(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值
（2）若f(x)的最大值为1，求实数a的值
（3）对于任意属于[0，π/3]，不等式f(x)≥1/2-a/2都成立，求实数a的范围

Answer 1

答：
f(x)=sin²x+acosx-a/2-3/2
=1-cos²x+acosx-a/2-3/2
=-(cosx-a/2)²+a²/4-a/2-1/2

1）
a=1，f(x)=-(cosx-1/2)²-3/4
当cosx=-1时，f(x)取得最小值为f(x)min=-3
2）f(x)的最大值为1
2.1)当对称轴cosx=a/2<=-1即a<=-2时：
cosx=-1时取得最大值f(x)max=-a-a/2-3/2=1
解得：a=5/3，不符合
2.2)当-1<cosx=a/2<1即-2<a<2时：cosx=a/2时取得最大值f(x)max=a²/4-a/2-1/2=1
a²-2a-6=0
a=1-√7（a=1+√7>2不符合舍去）
2.3)当对称轴cosx=a/2>=1即a>=2时：cosx=1时取得最大值f(x)max=a-a/2-3/2=1
解得：a=5
综上所述，a=1-√7或a=5
3）
f(x)=1-cos²x+acosx-a/2-3/2>=1/2-a/2
-cos²x+acosx-1>=0
cos²x-acosx+1<=0在[0，π/3]成立
1/2<=cosx<=1
所以：acosx>=cos²x+1
所以：a>=cosx+1/cosx>=2√(cosx*1/cosx)=2
当且仅当cosx=1/cosx即cosx=1时取得最小值
1/2<=cosx<=1时cosx+1/cosx是减函数
cosx=1/2时取得最大值：
a>=1/2+1/(1/2)>=cosx+1/cosx
所以：a>=5/2

Answer 2

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