Question

求极限，(a^n)/n!,当n趋于正无穷时的极限怎么求？

求极限，(a^n)/n!,当n趋于正无穷时的极限怎么求？

Answer 1

解：(1)a>0时
设bn=a^n/n!
则b(n+1)=[a/(n+1)]b(n)
∴存在N： n>N时，0<a/n+1<1
∴n>N时，b(n+1)<b(n)
又bn>0
∴n→∞时bn存在极限，设为A
lim(n→∞)b(n+1)=lim(n→∞)[a/(n+1)]b(n)
A=A*lim(n→∞)[a/(n+1)]
∴A=0
即lim(n→∞)b(n)=lim(n→∞)(a^n/n!)=0
(2)a<0时，a^1/1!, a^2/2!,...,a^n/n!为交错数列
由上面证明知lim(n→∞)|a^n/n!|=0
∴lim(n→∞)(a^n/n!)=0
(3)a=0时，显然a^n/n!恒为0
综上可知：lim(n→∞)(a^n/n!)=0

Answer 2

　　解 0<=|a|<1的情形是明显的。对 |a|>1，不妨只讨论 a>1 的情形，由于存在 N∈Z+，使得
　　　　N <= a < N+1，
于是，由
　　　0 < (a^n)/n! = a(a/2)…(a/N)[a/(N+1)]…[a/(n-1)](a/n)
　　 　< [(a^N)/N!]*(a/n) → 0 (n→inf.)，
据夹逼定理，即得所求极限为 0。