Question

如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=AA1=2，∠ACB=90°，E为BB1的中点，D∈AB，∠A1DE=90°

（1）求证：CD⊥平面ABB1A1
（2）求二面角D-A1C-A的余弦值

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（注：题目中并没有讲D是AB中点）

Answer 1

（1）只要证明D是AB中点问题就解决了，因为中点的话CD垂直AB，CD又垂直AA1，得证。
下面证明AD=BD： 假设AD=x， 则BD=2√2-x，（由已知条件，ACB为等腰直角三角形，勾股定理得）
同理已知A1B1=AB=2√2， B1E=BE=1，用勾股定理列方程：
在直角三角形A1DE中，（A1D)^2=4+x^2, DE^2=(2√2-x)^2+1，A1E^2=8+1=9
(A1D)^2+(DE)^2=(A1E)^2, 解方程得x=√2，
所以AD=BD=√2.
(2) 取A1C的中点P，得AP=√2，AP垂直A1C。
过A作A1D的垂线，垂足为H， 可用面积法求得AH=2√2/√6=2√3/3
则AH垂直A1D，AH垂直CD（因为CD垂直平面ABA1B1），所以AH垂直面A1CD，所以AH垂直A1C
上面已得AP垂直A1C，AH垂直A1C，所以角APH就是所求角。
直角三角形APH中AP、AH已知，自己求角APH的余弦吧孩纸~。。。
（PS：太久没做高中的数学题了，挺怀念的，好好珍惜你的高中生活吧，少年啊！）