Question

（初中数学）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30，矩形DEFG的一边DE在AB上，顶点G、F分别在AC、

BC上，若DG：GF=1:4，则矩形DEFG的面积是（）.
要有解题过程。

这是个三角形，没画好。

Answer 1

（1）连接DF，在Rt△CDF中，根据勾股定理可得DF的长；
（2）分①当0＜t≤2时；②当2＜t≤6时；③当6＜t≤10时三种情况讨论得到矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式；
（3）当QK经过矩形DEFG的对称中心O时，就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分；易得∠GFD=∠B，可得DF∥AB，然后根据平行线分线段成比例定理求出t值；
（4）由于当DH∥AB，可知D、H的纵坐标相等，依此可得关于t的方程，求出t值即可．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答：解：（1）如图1：连接DF，在Rt△CDF中，CD=12，CF=16，
根据勾股定理：
DF=122+162=20；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，
∴BC=AB2−AC2=40，
根据题意得：当t=505=10时，停止运动；
如图2：当点E在AB上时，
∵∠C=90°，∠EFG=90°，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BF：BC，
∴12：30=BF：40，
∴BF=16，
∴CG=BC-BF-GF=40-16-16=8，
此时，t=8÷4=2；
如图3：当F与B重合时，
CG=BC-BG=40-16=24，
此时，t=24÷4=6，
∵tan∠ABC=ACBC=34，tan∠GBD=GDBG=34，
∴此时，点D在直线AB上；
①当0＜t≤2时，s=S_矩形DEFG=12×16=192，
②如图4：当2＜t≤6时，设矩形DEFG的边EF交BC于点M，边DE交AB于点N
∵BF=24-4t tanB=3040＝34
∴MF=34（24-4t）=18-3t，
∴EM=EF-FM=12-（18-3t）=3t-6，
∴NE=43EM=4t-8，
∴s=S_矩形DEFG-S_△EMN=192-12EM•EN=192-6（t-2）²，
③如图5：当6＜t≤10时，设DG与AB交于点M，BG=40-4t，
则MG=34BG=30-3t，
则s=S_△BMG=12BG•MG=12×（40-4t）（30-3t）=6（10-t）²；

（3）能，
如图6：当QK经过矩形DEFG的对称中心O时，就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分；
∵在Rt△GDF与Rt△CAB中，tan∠GDF=DGGF=1216=34，tan∠B=ACBC=34，
∴∠GFD=∠B，
∴DF∥AB，
∴OFQB＝HFBH，
∵DF=20，
∴OF=10，
∵BF=24-4t，HF=54OF=252，QB=5t，
∴BH=BF+FH=24-4t+252，
∴105t＝25224−4t+252，
解得：t=14641；

（4）如图7：过点D作MN⊥AB于N，交BC于M，
∵∠GMD+∠B=90°，∠GMD+∠GDM=90°，
∴∠GDM=∠B，
∴GM=GD•tan∠GDM=34×12=9，
∴DM=DG2+GM2=15，
∵BG=40-4t，
∴BM=BG+GM=40-4t+9=49-4t，
∴MN=BM•cos∠B=35（49-4t），
∴DN=MN-DM=35（49-4t）-15，
∵QH=34QB=34×5t=154t，
∵DH∥AB，
∴QH=DN，
则154t=35（49-4t）-15，
解得t=9641．
故t值为9641．

Answer 2

设GD=x,GF=4x
因为AC=BC,∠C=90°
所以
这个△是等腰直角三角形
从而
AD=BE=GD=EF=x
AB=x+4x+x=30
6x=30
x=5
即
DG=5，GF=5×4=20
从而矩形面积=5×20=100

Answer 3

过C作CM垂直AB于M，交FG于N
因AC=BC，角C=90度
所以GN=FN=CN，MN=DG
因DG/GF=1/4
所以DG/GN=DG/GN=1/2
所以GF/AB=CN/CM=2/3
因AB=30
所以GF=20
所以S=5*20=100

Answer 4