Question

高中数学，那个大神会，教教我吧，谢谢……

Answer 1

三元均值不等式:
x+y+z≥3[(xyz)^(1/3)]
等号仅当x=y=z时取得.
[[[[[解]]]]
由三元均值不等式可得:
[1]
a²+b²+c²≥3[(abc)^(2/3)].
等号仅当a=b=c时取得
[2]
∵(1/a)+(1/b)+(1/c)≥3/[(abc)^(1/3)]
∴两边平方,可得:
[(1/a)+(1/b)+(1/c)]²≥9/[(abc)^(2/3)]
等号仅当a=b=c时取得
[3]
再由二元基本不等式a+b≥2√(ab),可得
3[(abc)^(2/3)]+{9/[(abc)^(2/3)]}≥2√27=6√3
等号仅当abc=3^(3/4)时取得.
[4]
由上面可知,上面的两个式子相加,可得
a²+b²+c²+[(1/a)+(1/b)+(1/c)]²≥3[(abc)^(2/3)]+{9/[(abc)^(2/3)]}≥6√3
等号仅当a=b=c,且abc=3^(3/4)时,即a=b=c=3^(1/4)时取得.
∴原式的最小值为6√3

Answer 2

将（1/a +1/b + 1/c）拆成三个，即 1/3(1/a +1/b + 1/c）分别与a∧2, b∧2, c∧2 用基本不等式，此时可求a,b,c 带入可证。

追问

那个平方呢？谢谢

追答

哦，不好意思，（1/a +1/b + 1/c）应该加个平方