Question

求它的值域，要过程。

Answer 1

原式分子=[sin(x/2)+cos(x/2)]²=2sin²(x+45°)；
原式分母=2sin2x=-2cos(2x+90°)=sin²(x+45°)-cos²(x+45°)；
原式=2sin²(x+45)/[sin²(x+45°)-cos²(x+45°)]=2/[1-cot²(x+45°)]；
若 x∈(0,π/2) ，则 cot²(x+45°)∈(0,1)，上式取值在 2~+∞，即值域为 (2,+∞)；

追问

？怎么看不懂

追答

化简到最后得到的式子为 2/[1-cot²(x+45°)]；
当 x∈(0,π/2)，x+45°∈(π/4,3π/4)，余切平方 u=cot²(x+45°) 的最大值是 1、最小值是 0；
那么 2/(1-u²) 的最大值就是当 u 取最小值时，u 取最大值时代数式值最小，直接可看出了；