Question

设F1F2分别是椭圆x2/4+y2=1的左右焦点。(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|-|

PF2|的最大值和最小值。(2)设过定点M(0,2)直线l与椭圆交于不同两点A,B，且角AOB为锐角，求l的斜率k取值范围。

Answer 1

(一） 解：易知，a=2,b=1,c=√3.由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a=4.设|PF1|-|PF2|=m.两式相加得：|PF1|=(4+m)/2.易知，a-c≤|PF1|≤a+c.∴2-√3≤(4+m)/2≤2+√3.===>-2√3≤m≤2√3.∴(|PF1|+|PF2|)max=2√3,(|PF1|+|PF2|)min=-2√3.(二）解：可设直线L:y=kx+2.与椭圆方程联立得：(1+4k²)x²+16kx+12=0.⊿=(16k)²-48(1+4k)²＞0.===>|k|＞√3/2.可设A(x1,kx1+2),B(x2,kx2+2).x1+x2=-16k/(1+4k²),x1x2=12/(1+4k²).且|OA|²+|OB|²＞|AB|².===>4+2(x1+x2)+(1+k²)x1x2＞0.===>|k|＜2.∴√3/2＜|k|＜2.