Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g（x）=Asin（x-π/6），（A≠0）。

（1）当0≤x≤π/2时，求y=f（sinx）最大值；
（2）若对任意的x1∈[0,3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数A的取值范围；
（3）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0,2π]上有两个解。
求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

解答：
（1）
t=sinx∈[0,1]
f(sinx)=2t²-3t+1
对称轴是t=3/4, 图像开口向上，
∴ x=0时，f(sinx)有最大值是1
（2）
即f(x)的值域包含于g(x)的值域
f(x)=2x²-3x+1
对称轴是x=3/4, 图像开口向上，
∴ x=3/4时，f(x)的最小值是-1/8
x=3时，f(x)的最大值是10
即值域是[-1/8,10]

x2∈[0,3]
∴ x-π/6∈[-π/6,3-π/6]
∴ sin(x-π/6)∈[-1/2,1]
① A>0
g(x)∈[-A/2,A]
∴ A≥10
②A<0
g(x)∈[A,-A/2]
∴ -A/2≥10
即A≤-20
∴ A≥10或A≤-20

帮忙追问一下，再答。

追问

请帮我回答第三个问题。谢谢：（3）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0,2π]上有两个解。

追答

f(sinx)=a-sinx
令sinx=t
∴ 2t²-3t+1=a-t
∴ 2t²-2t+1-a=0
对称轴是x=1/2
t∈[-1,1]
要满足题意，则一个根∈(-1,0),另一根大于1
设g(t)=2t²-2t+1-a
∴ g(-1)>0且g(0)0且1-a1
∴ 1<a<5

追问

对不起，我的追问有一个错误。正确的区间是[0,2π），我错误地打成了[0,2π]。请您按照正确的区间再重新计算吧。谢谢。

追答

答案一样。

追问

要满足题意，则一个根∈(-1,0),另一根大于1，这一步没看懂。

追答

(1)根关于t=1/2对称
(2)sinx=t,
如果t∈(-1,1),有两个x值，
如果t=1或t=-1,有一个x值