Question

如图，已知在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M,N分别是AD,BC的中点，E，F分别是BM,CM的中点。

1）求证：四边形MENF是菱形。（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明

Answer 1

（1）证明:等腰梯形ABCD中，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，且AB＝CD 又，M是AB的中点，所以AM＝MD 所以，△ABM≌△DCM，则BM=CM 又，E、N、F分别是边BM、BC、CM的中点，由中位线定理知： EN平行且等于CM＝MC/2，NF平行且等于BM＝BM/2 所以，边EN＝NF＝FM＝ME。 故，四边形MENF是菱形 （2）分别延长BA、CD交于点O 因为AB＝CD，AD//BC，所以，∠OAD＝∠ODA,则△OAB是等腰三角形 就有OA＝OD，又AB＝CD，所以OB＝OC，所以△OBC液是等腰三角形 连接OM并延长OM，则它与BC的交点必为N 因为M、N分别为AD、BC中点，而△OAD和△OBC都是等腰三角形，所以MN⊥BC 当四边形MENF是正方形时，由于MN平分∠EMF（这是菱形的性质） 所以∠NMC＝45度，由前面MN⊥BC，所以△MNC为等腰直角三角形 所以，MN＝NC＝BC/2 即，等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半。