Question

一道关于数列极限的题、求教！

Answer 1

(1)
an·a(n+1)=-q^n，令n=1，得a1·a2=-q
a1=2≠0，又已知a2≠0，因此q≠0
a2=-q/a1=-q/2
an·a(n+1)=-q^n
a(n+1)·a(n+2)=-q^(n+1)
[a(n+1)·a(n+2)]/[an·a(n+1)]=a(n+2)/an=q，为常数
数列奇数项是以2为首项，q为公比的等比数列，偶数项是以-q/2为首项，q为公比的等比数列
a(2n-1)=2×q^(n-1) an=2×q^[(n-1)/2]
a(2n)=(-q/2)×q^(n-1)=(-1/2)q^n an=(-1/2)q^(n/2)
写成统一的形式：
an=(-1)ⁿ·(-1/2)^[(-1)ⁿ]·q^[(2n-1+(-1)ⁿ)/4]
(2)
S(2n)=2·(1-qⁿ)/(1-q) +(-q/2)·(1-qⁿ)/(1-q)
=(2- q/2)·(1-qⁿ)/(1-q)
=(4-q)(1-qⁿ)/(2-2q)
|q|<1 n->+∞，q->0 1-q->1
q为常数，4-q，2-2q为常数
limS(2n)=(4-q)/(2-2q)
(4-q)/(2-2q)<3
|q|<1 2-2q>0
4-q<3(2-2q)
5q<2
q<2/5，
又|q|<1，-1<q<1
且由第一问得q≠0
因此-1<q<2/5且q≠0