Question

设函数f(x)=mx^2-mx-1,对于x属于[1,3],f(x)< 0恒成立,求m的取值范围

Answer 1

设函数f(x)=mx²-mx-1,对于x属于[1,3],f(x)< 0恒成立,求m的取值范围
解：当m=0时f(x)≡-1对任何x都成立，因此m=0满足题意；当m≠0时要分两种情况进行讨论：
(一).m>0时，f(x)的图像是一条开口朝上的抛物线。
f(x)=m(x²-1)-1=m[(x-1/2)²-1/4]-1=m(x-1/2)²-m/4-1=m(x-1/2)²-(m+4)/4
其对称轴x=1/2在区间[1，3]的左边，f(x)在[1，3]内单调增，因此要使f(x)<0在区间[1，3]内恒成立，
只需f(3)=9m-3m-1=6m-1<0，即m<1/6；故0<m<1/6为取值范围；
(二).m<0时，f(x)的图像是一条开口朝下的抛物线，由于其对称轴x=1/2在区间[1，3]的左边，f(x)在
[1，3]内单调减，因此要使f(x)<0在区间[1，3]内恒成立，只需f(1)=m-m-1=-1<0，而这个不等式对
任何x都成立，因此m<0满足题意。
结论：m的取值范围为(-∞，1/6).

Answer 2

当m=1时f（1）=-1所以x=1时函数恒等于-1
再进行分类讨论 当m>0时，f（3）<0成立即可解得0<m<1/6 当m=1时函数恒等于-1所以恒成立 可解得函数对称轴恒为1/2当m<0时图像在［1，3］时恒小于o 综上，m<1/6

Answer 3

当该函数为一元一次函数，即m=0时,对于x属于[1,3],恒有f(x)=-1<-m+5=5.

当该函数为一元二次函数， 即m不等于0时，
由f(x)=mx^2-mx-1<-m+5恒成立得
m(x^2-x+1)<6恒成立
又设函数g(x)=x^2-x+1得知，该函数g(x)对于x属于[1,3]恒大于0。
所以要使f(x)<-m+5恒成立，则只要对于x属于[1,3]时使m<6/(x^2-x+1)恒成立即可。
所以只要对于x属于[1,3]时使m恒小于[6/(x^2-x+1)]的最小值即可
而对于函数g(x)，当x属于[1,3]时，该函数的图像是单调递增的，
所以当x属于[1,3]时，g(x)max=g(3)=7
所以[6/(x^2-x+1)]的最小值为6/g(x)max=6/7
即要使f(x)<-m+5恒成立，则只要对于x属于[1,3]时使m<6/7恒成立即可

所以综上所述，m的取值范围为（负无穷，6/7）

满意请采纳，谢谢

追问

是f(x)< 0，不是f(x)<-m+5

追答

解：（1）当m=0时，f(x)=-1<0成立
当m≠0时，要求抛物线开口向下且与x轴无交点
∴m<0且判别式m2+4m<0
解得-4<m<0
综上可得-4<m≤0
（2）当m=0时，f(x)=-1<5恒成立
当m≠0时，令g(x)=f(x)+m-5=mx2-mx+m-6
图象是抛物线，对称轴是x=0.5,区间[1,3]在对称轴的右边。
∴只要g(1)<0与g(3)<0同时成立就行。
解得m<6/7
综上可得，m的取值范围 是m<6/7

换一下就可以了

追问

那么请你算一下是不是（-4，1|6），可是答案给我的是负无穷到1|6）

追答

稍等