Question

A是n阶实对称矩阵，证明A秩为n充要条件为存在一个n阶实矩阵B,使AB+B转置乘A为正定矩阵

Answer 1

因为A是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P使得P'AP=D为对角矩阵，这里“ ' ”表示转置。P是正交矩阵，因此满足P'P=PP'=E为单位矩阵。并且A和D的秩相等。

必要性：
若rank(A)=n，则由A和D的秩相等，知道D的所有对角元均非零，这样D才能满秩，这里将D的第i个对角元记为D(i)，1<=i<=n。
构造法：
现在构造这样一个矩阵F，F为n阶对角阵，其第i个对角元：F(i)=1/D(i)；
这样DF=E为单位矩阵。
我们已知A=PDP'，现在令B=PFP'。
则AB+B'A=（PDP'）（PFP'）+（PFP'）'（PDP'）=2PDFP'=2PP'=2E，显然为正定矩阵。

充分性：
已知存在n阶实矩阵B使得AB+B'A为正定矩阵。注意到AB+B'A本身就是对称矩阵，因此AB+B'A是正定实对称矩阵。
由于P为正交矩阵，是可逆的，因此：
P'(AB+B'A)P为正定实对称矩阵；
因此（P'AP）（P'BP）+（P'B'P）（P'AP）为正定实对称矩阵；
现在设P'BP=G，则DG+G'D为正定实对称矩阵。
再设DG=H，则H'+H是正定实对称矩阵。
假设D不满秩，那么H也必定不满秩，因此存在非零向量y使得Hy=0，从而
y'（H'+H）y=y'H'y+y'Hy=0，这跟H'+H正定矛盾。因此D必须满秩，从而A满秩。

证毕。