Question

三角形证明题

直线AB和直线CD成任意角,过直线AB做两垂直线AC,BD
E,F 是直线AC,BD的中点,过EF两点做CD的垂直线交GH
两点,求证直线AB是不是等于直线GH.

Answer 1

证明：
过F做FN⊥AC,垂足为N,过F做FM⊥EG,垂足为M,
∵AC⊥AB,DB⊥AB,EG⊥CD,FH⊥CD,
∴四边形ABFN,FMGH都为矩形，
∴AB=FN,AN=BF,GH=MF,FH=GM,
∵E,F 是直线AC,BD的中点,
不妨设AE=CE=a,BF=DF=b,∠C=∠HDF=a
∵EN=AE-AN=AE-BF=a-b
EM=EG-MG=EG-FH=CEsina-DFsina
=(a-b)sina
在Rt△ENF,Rt△EMF中，由勾股定理得
MF^2=EF^2-EM^2
NF^2=EF^2-EN^2
∴MF^2-NF^2=EN^2-EM^2
=(a-b)^2-(a-b)^2*(sina)^2
=(a-b)^2*(cosa)^2
当a≠b时，MF^2-NF^2＞0
即AB^2-GH^2＞0,
∴AB＞GH