Question

三角函数

已知三角形ABC满足a=5,b=4,cos(A-B)=31/32,则cos（A+B)=

Answer 1

2种方法如下：、
①∵a＞b,∴A＞B。
作∠BAD＝B交边BC于点D。
设BD＝x，则AD＝x，DC＝5-x。
在ΔADC中，注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32，由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2+4^2-2x*4*31/32,
即：25-10x＝16-(31/4)x,
解得：x＝4.
∴在ΔADC中，AD=AC=4,CD=1,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8.

②因为a＞b 所以A＞B
作AB的中垂线DE交BC于E，过E作EF⊥AC于F ，
则cos(A－B)＝cos∠EAF＝AF/AE＝31/32
设AE＝32k，则AF＝31k，BE＝32k，CE＝5－32k，CF＝4－31k
因为EF^2＝AE^2－AF^2＝CE^2－CF^2
所以(32k)^2－(31k)^2＝(5－32k)^2－(4－31k)^2
解得：k＝1/8
所以cosC＝CF/CE＝(4－31/8)/(5－32/8)＝1/8

cos(A+B)=-cosC=-1/8

祝您学习愉快