Question

为什么有有限个间断点还能可积呢？定理1中不是说要求函数连续,才能可积吗？这不矛盾吗.。

Answer 1

有可能可积。有界函数有无穷多个间断点是可能可积的，最简单的例子就是单调有界函数，容易证明，单调有界函是一定可积的，但可能有无穷多个间断点。

这个函数是二元函数的话。可以是无穷个间断点，二元函数只要保证仅在有限的曲线上，不连续该函数仍可积。

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

定理1是说：如果函数连续，那它可积，并不是要求可积的函数一定连续。

定理2，假设c是f(x)在[a,b]上的唯一间断点，a<c<b，则f(x)在[a,c)、(c,b]上连续，从而
f(x)在[a,b]上的积分＝f(x)在[a,c)上的积分+f(x)在(c,b]上的积分。
同理类推到有限个间断点。