Question

设矩阵A=-1 1 0 -4 3 0 1 0 2(1)求A的特征值和特征向量；

设矩阵A=-1 1 0 -4 3 0 1 0 2，(1)求A的特征值和特征向量；(2)判断矩阵A是否与对角矩阵相似，若相似写出可逆矩阵P及对角矩阵Λ.

Answer 1

解: |A-λE|
= (2-λ)[(-1-λ)(3-λ)+4]
= (2-λ)(λ^2-2λ+1)
= (2-λ)(1-λ)^2.
所以A的特征值为 1,1,2.

(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(1,2,-1)^T.
所以A的属于特征值1的全部特征向量为 k1a1, k1≠0

(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(0,0,1)^T.
所以A的属于特征值2的全部特征向量为 k2a2, k2≠0

A没有3个线性无关的特征向量, 所以A不能与对角矩阵相似

Answer 2

求特征值，就是要解方程 |λE - A| = 0，
展开可得 λ1 = λ2 = 2，λ3 = -1，
求特征向量，就是解方程组 (λE-A)X=0，其中 λ=2 或 -1，
用行初等变换，易得：

属于 2 的特征向量 η1=（1，0，4）^T，η2=（0，1，-1）^T，
属于 -1 的特征向量 η3=（1，0，1）^T。